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Toutes les procédures présentées ont été réalisées sous MAPPLE .
A chaque fois elles servent à étudier une suite de type :
Comme nous voulons étudier le comportement de la suite en fonction de , on va essayer de représenter son comportement au voisinage
de l'infini en fonction de . On met donc en place un graphique à deux dimensions, où figureront en abscisses les valeurs de et en
ordonnées les valeurs de la suite au voisinage de l'infini.
- réprésente l'intervalle de variation de ,
- réprésente le pas utilisé,
- correspond à la valeur de à partir de laquelle on commence à afficher les points,
- correspond à la valeur de pour laquelle on stoppe les calculs.
bifurc:=proc(Amin,Amax,p,Nmin,Nmax);
M:=NULL;
g:=x->(x*(1-x));
for a from Amin to Amax by p do
L:=NULL;
t:=0.4;
for k from 1 to Nmin do t:=a*evalf(g(t)) od;
for k from Nmin to Nmax do
L:=L,[a,t];
t:=evalf(a*g(t));
od;
M:=M,plot([L],x=Amin..Amax,style=point,symbol=point);
od;
display([M]);
end:
Il s'agit de réprésenter la fonction qui définit la suite, ainsi que la droite d'équation , puis de montrer comment se définit
en fonction de .
- est la fonction à partir de laquelle les calculs sont effectués,
- est le nombre d'itérations que l'on désire afficher,
- est la valeur initiale de la suite.
suite:=proc(f,n,u0);
L:=[u0,0];
t:=u0;
for k from 1 to n do
L:=L,[t,t],[t,f(t)];
t:=f(t);
od;
plot([x,f(x),[L]],x=0..1,color=[black,red,blue]);
end:
On cherche ici à illustrer le phénomène de sensibilité aux conditions initiales. On prend donc deux suites ne différant que par leur terme
initial. Puis on représente les itérés de l'une en fonction des itérés de l'autre.
- : fonction qui définit les deux suites,
- : terme initial de la première suite,
- : terme inital de la seconde suite,
- : nombre d'itérations à représenter.
pap:=proc(f,u0,v0,n);
L:=[u0,v0];
x:=u0;
y:=v0;
for k from 1 to n do
x:=f(x);
y:=f(y);
L:=L,[x,y];
od;
plot([L],style=point);
end:
On utilise le même système de représentation que dans le cas précédent pour illustrer les erreurs d'arrondi que peut commettre
l'ordinateur. Ici le terme initial est le même pour les deux suites, mais c'est l'expression de qui diffère, on prendra par exemple
factorisée puis développée.
- et : les fonctions définissant les deux suites,
- : le terme initial pour chaque suite,
- : le nombre d'itérations à représenter.
pap2:=proc(f,g,u0,n);
L:=[u0,u0];
x:=u0;
y:=u0;
for k from 1 to n do
x:=f(x);
y:=g(y);
L:=L,[x,y];
od;
plot([L],style=point);
end:
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Sébastien Georget
2003-09-18