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Sous-sections

Procédures

Toutes les procédures présentées ont été réalisées sous MAPPLE .
A chaque fois elles servent à étudier une suite de type :

\begin{displaymath}
\left \{
\begin{array}{ccc}
u_0 &\in& [0;1]\\
u_{n+1} &=& f(u_n)
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Diagramme de bifurcation

Principe

Comme nous voulons étudier le comportement de la suite en fonction de $a$, on va essayer de représenter son comportement au voisinage de l'infini en fonction de $a$. On met donc en place un graphique à deux dimensions, où figureront en abscisses les valeurs de $a$ et en ordonnées les valeurs de la suite au voisinage de l'infini.

Arguments de la procédures

Procédure :

		bifurc:=proc(Amin,Amax,p,Nmin,Nmax);
		M:=NULL;
		g:=x->(x*(1-x));
		for a from Amin to Amax by p do
		   L:=NULL;
		   t:=0.4;
		   for k from 1 to Nmin do t:=a*evalf(g(t)) od;
		   for k from Nmin to Nmax do
		       L:=L,[a,t];
		       t:=evalf(a*g(t));
		   od;
		   M:=M,plot([L],x=Amin..Amax,style=point,symbol=point);
		od;
		display([M]);
		end:

Représentation en toile d'araignée

Principe

Il s'agit de réprésenter la fonction $f$ qui définit la suite, ainsi que la droite d'équation $y=x$, puis de montrer comment se définit $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

Arguments de la procédure

Procédure :

		suite:=proc(f,n,u0);
		L:=[u0,0];
		t:=u0;
		for k from 1 to n do
		   L:=L,[t,t],[t,f(t)];
		   t:=f(t);
		od;
		plot([x,f(x),[L]],x=0..1,color=[black,red,blue]);
		end:

Sensibilité aux conditions initiales

Principe

On cherche ici à illustrer le phénomène de sensibilité aux conditions initiales. On prend donc deux suites ne différant que par leur terme initial. Puis on représente les itérés de l'une en fonction des itérés de l'autre.

Arguments de la procédure

Procédure

		pap:=proc(f,u0,v0,n);
		L:=[u0,v0];
		x:=u0;
		y:=v0;
		for k from 1 to n do
		   x:=f(x);
		   y:=f(y);
		   L:=L,[x,y];
		od;
		plot([L],style=point);
	end:

Erreurs d'arrondis

Principe

On utilise le même système de représentation que dans le cas précédent pour illustrer les erreurs d'arrondi que peut commettre l'ordinateur. Ici le terme initial est le même pour les deux suites, mais c'est l'expression de $f$ qui diffère, on prendra par exemple $f$ factorisée puis développée.

Arguments de la procédure

Procédure

		pap2:=proc(f,g,u0,n);
		L:=[u0,u0];
		x:=u0;
		y:=u0;
		for k from 1 to n do
		   x:=f(x);
		   y:=g(y);
		   L:=L,[x,y];
		od;
		plot([L],style=point);
		end:

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Sébastien Georget 2003-09-18