Présentation

Juste un mot d'histoire

L'expression "effet papillon" a été la première fois utilisée par Edward Lorenz. Celui ci l'employa pour décrire un phénomène connu en mathématiques sous le nom de sensibilité aux conditions initiales. Phénomène qu'il mit en évidence grâce au système d'équations différentielles suivant :

$$\left \{ \begin{array}{ccc} \dot{X} &=& -\sigma(X-Y) \\ ... ... &=& r.X-Y-X.Z \\ \dot{Z} &=& b.(X.Y-Z) \end{array} \right.$$

Système qu'il obtint en simplifiant à l'extrème un modèle de convection thermique. Celui-ci a pour particularité d'être non linéaire et c'est ce qui le rend impossible à résoudre par les méthodes usuelles.

But de ce T.I.P.E.

Nous allons ici nous intéresser à un système plus simple que celui de Lorenz, mais qui présente cependant des comportements semblables du eux-mêmes à des non-linéarités du système. Il s'agit de la suite logistique.
Comme le système différentiel présenté plus haut, cette suite est issue d'une modélisation d'un phnomène naturel : l'évolution des effectifs d'une population de type proies-prédateurs dan un système clot.
Plus précisemment, le modèle conduit à une équation différentielle que l'on peut par des méthodes de discrétisation ramener à une suite récurrente.

Nous allons procéder à l'étude de cette suite en suivant son évolution d'un comportement simple (la convergence) vers un comportement plus complexe (le chaos) en passant par un état intermédiaire (la périodicité).