Premiers pas

Cadre d'étude

Dans cette section, nous allons définir ce qu'est la suite logistique puis nous verrons une méthode pratique permettant de la construire et de l'étudier.

La suite logistique

La suite logistique est définie ainsi :

$$\left \{ \begin{array}{ccc} u_0 &\in& [0;1]\\ u_{n+1} &=& f(u_n) \end{array} \right.$$

où la fonction $f$ est une fonction paramétrée définie de la manière suivante :

$$f \left \{ \begin{array}{ccc} \mathbb{R}&\rightarrow& \mathbb{R}\\ x &\mapsto& a\. x\. (1-x) \end{array} \right.$$

On prendra par la suite $a \in [0;4]$ de manière à ce que l'intervalle $[0;1]$ soit stable par $f$.

Représentation en toile d'araignée

Pour visualiser une telle suite il existe une représentation utile que l'on appelle la représentation en toile d'araignée. Nous allons voir avec un exemple comment elle fonctionne.

Puisque $u_{n+1}$ est déterminé à partir de $u_n$, on trace la droite d'équation $y=x$, puis à chaque itération, on reporte la valeurde $u_n$ sur cette droite et on en recherche l'image par $f$.

Diagramme de bifurcation

Sur l'exemple précédent, nous avons vu que la suite convergeait vers un point fixe. On peut se demander si se comportement est valable pour toutes les valeurs de $a \in [0;4]$. Pour voir rapidement ce qu'il en est nous allons utiliser le diagramme de bifurcation.

Principe

Comme nous voulons étudier le comportement de la suite en fonction de $a$, on va essayer de représenter son comportement au voisinage de l'infini en fonction de $a$. On met donc en place un graphique à deux dimensions, où figureront en abscisses les valeurs de $a$ et en ordonnées les valeurs de la suite au voisinage de l'infini.

On supposera en fait que le comportement de la suite se stabilise très vite. Ce qui nous permettra d'étudier la suite à partir d'un rang $n_0$ accessible aux capacités de l'ordinateur. Ensuite nous représenterons les éléments de la suites pour $n$ variant de $n_0$ à $n_1$, en prenant $n_1$ suffisament grand pour qu'on soit quasiment sur du comportement de la suite, mais pas trop grand afin de conservé des temps de calcul raisonnables.

Mise en uvre

Ici, nous avons choisi $n_0=40$ et $n_1=100$.
Nous obtenons grâce à la procédure bifurc (voir page ), le diagramme de bifurcation suivant, aussi appelé diagramme de FeigenBaum.

On peut tout de suite voir que la suite ne présente pas toujours un comportement aussi simple que celui que nous avons vu précédemment. En effet, il semble qu'il existe des valeurs de $a$ à partir desquelles le diagramme se divise en deux. Ce qui se traduit au niveau de la suite par l'apparition de cycles.

Bifurcations

Tout d'abord, nous allons nous limiter à l'étude de la première bifurcation. C'est à dire que nous allons chercher pour quelle valeur de $a$ la suite ne converge plus. Mais pour cela, nous devons essayer de comprendre pourquoi la convergence disparaît, c'est ce que nous allons voir.

Explications

En fait, la représentation en toile d'araignée va nous permettre de comprendre ce qui se passe.
Etudions localement comment se comporte la suite dans le domaine de convergence (par exemple $a=2.5$) et dans le domaine où elle ne converge plus (par exemple $a=3.2$). Rerprésentons en plus sur les schémas la tangente au point d'intersection $I$ entre la courbe représentative de $f$ et la première bissectrice du repère.

$a=2.5$	$a=2.5$
$a=3.2$	$a=3.2$

Graphiquement, on comprend bien pourquoi la suite va cesser de converger.
En effet, tant que le coefficient directeur de la tangente en $I$ est supérieur à $-1$, localement chaque itéré se rapproche du point fixe. Dans ce cas, le point fixe est un point attractif (ou stable). Mais dès qu'il est inférieur à $-1$, les itérés auront tendance à s'en écarter. On dit alors que le point devient répulsif (ou instable).
Pour trouver la valeur de $a$ à partir de laquelle la suite ne converge plus, il faut donc trouver quand le coefficient de la tangente au point fixe passe par $-1$.

Application

Nous devons donc, dans un premier temps, résoudre l'équation $f(x)=x$ afin de déterminer le point fixe. On obient $x_0=1-\frac{1}{a}$.
Il nous faut ensuite déterminer la dérivée en ce point : $f'(x_0)=2-a$.
On trouve donc que la suite cesse de converger lorsque $a>3$, ce qu'on pouvait deviner sur le graphique.

On pourrait poursuive et déterminer ainsi les points de bifurcation suivants. Cependant les calculs deviennent rapidement très lourds, puisque pour déterminer le point de $n\ieme$ bifurcation, il faut résoudre l'équation $f^n(x)=x$, c'est à dire un polynôme de degré $2n$. On n'obtiendra donc que des valeurs approchées.

A titre d'exemple voici les deux points de bifurcation suivants.

$$\left \{ \begin{array}{ccc} \displaystyle x_{01} &=& \frac{... ...02} &=& \frac{a+1-\sqrt{a^2-2.a-3}}{2.a} \end{array} \right.$$

Cet exemple, laisse supposer que pour chaque nouvelle branche définie, la bifurcation suivante aura lieu en même temps que sur les autres branches.