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Sous-sections

Le chaos

Définitions

Comme beaucoup de mot le chaos mathématique n'a pas le même sens que le chaos quotidien, voyons donc sa définition. Mais commençons par introduire les termes sur lesquelles celle-ci s'appuie.

Sensibilité aux conditions initiales

D'un point de vue mathématique on dit que $f$ montre une dépendance sensible aux conditions initiales lorsque :

\begin{displaymath}\exists \delta > 0, \forall x \in D, \forall \epsilon >0, \ex...
...rt\vert f^p(x) - f^p(y)\vert\vert > \delta \end{array} \right. \end{displaymath}

C'est ce que Lorenz à traduit par : "un battement d'aile de papillon au Brésil peut entraîner une tornade au Texas."

Notion topologique

On dit que $f$ est topologiquement transitive lorsque :

Chaos

Une fonction est f définie sur une partie D d'un espace vectoriel normé est dite chaotique lorsque :

Pour $k=4$, la suite logistique répond à toutes ces conditions donc elle est chotique au sens mathématique du terme.

Illustrations

Nous allons ici présenter un exemple qui montre comment se manifeste l'effet papillon. Puis nous verrons quels problèmes il peut poser dans les calculs scientifiques.

Sensibilité aux conditions initiales

On va étudier à l'aide d'un exmple précis une manifestation de l'effet papillon.
On prend deux valeurs de $u_0$ proches, par exemple $0,1$ et $0,1+10^{-39}$ puis on étudie les comportements des deux suites ainsi définies (en prenant bien soin d'effectuer les calculs avec une précision d'au moins 40 décimales). Pour cela, on va représenter $(v_n)$ en fonction de $(u_n)$. Tant que les deux suites coïncideront, les points appartiendront à la première bissectrice du repère. C'est ce que l'on constate sur la première figure.
\includegraphics[]{img/pap1.ps}
Mais dès que l'on augmente le nombre d'itérations, on obtient quelquechose de semblable à la figure suivante, ce qui montre bien que les deux suites ont des comportements totalement différents.
\includegraphics[]{img/pap2.ps}

Approximations dangereuses

La manifestation de l'effet papillon dans les calculs scientifiques apparaît de deux manières.
Tout d'abord, un système peut être imprédictible de par sa nature même, par exemple lorsqu'il est chaotique, comme c'est le cas pour la suite logistique lorsque $a=4$.
Mais un autre facteur intervient. En effet, les ordinateurs effectuent leurs calculs en précision finie, ils introduisent donc une erreur en troncant les décimales des nombres. Ce qui, comme nous l'avons vu, peut totalement fausser les résultats.
Nous allons illustrer ce phénomène avec un exemple simple.

On étudie toujours la suite logistique, avec le même système de représentation que précédemment, mais cette fois-ci on prend $v_{n+1}=4\. v_n\. (1-v_n)$ et $u_{n+1}=4\. u_n - 4\. u_n^2$ et $u_0=v_0=0,3$. D'un point de vue formel, les deux suites sont identiques, mais prenons deux cas précis.
Dans un premier temps, on prend $u_0=0,3$ et on fait effectuer les calculs à MAPPLE avec une précision de $90$ décimales sur $300$ itérations. On obtient le graphique suivant :

\includegraphics[]{img/papfg1.ps}
Il suffit cependant d'abaisser le nombre de décimales à $89$ pour voir apparaître le graphique suivant :
\includegraphics[]{img/papfg2.ps}
Ce qui traduit bien l'importance du nombre de décimales pour effectuer les calculs. Encore une fois les deux suites ont un comportement différent. Mais cette fois-ci ce n'est pas du à un problème théorique, mais à un problème pratique.

Calculateurs

L'exemple précédent est important en météorologie, et plus généralement dans tous les domaines de la modélisations qui font appel à de nombreux algorithmes récursifs.
Comme nous l'avons vu, pour effectuer des calculs valables à long terme, il faut donc effectuer les opérations avec un grand nombre de décimales. Mais comme les modèles physiques s'appuient en plus sur un grand nombre de variables, il faut alors utiliser des calculateurs surpuissants.
Ainsi, parmi les $20$ plus puissants calculateurs mondiaux, on en retrouve $5$ dédiés aux prévisions météorologiques, et $7$ pour les laboratoires de modélisation.
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Sébastien Georget 2003-09-18